Matematika adalah salah satu disiplin ilmu yang paling teknis dan objektif yang ada. Ini adalah kerangka utama dari mana cabang-cabang ilmu lain mampu melakukan pengukuran dan beroperasi dengan variabel-variabel unsur yang mereka pelajari, sedemikian rupa sehingga selain menjadi disiplin itu sendiri, ia mengandaikan, bersama dengan logika, salah satu dasar dari pengetahuan ilmiah.
Namun dalam matematika, proses dan sifat yang sangat beragam dipelajari, di antaranya hubungan antara dua besaran atau domain yang saling terkait, di mana hasil tertentu diperoleh berkat atau berdasarkan nilai unsur tertentu. Ini tentang keberadaan fungsi matematika, yang tidak selalu memiliki cara yang sama untuk mempengaruhi atau berhubungan satu sama lain.
Itulah mengapa kita dapat berbicara tentang berbagai jenis fungsi matematika , yang akan kita bicarakan di seluruh artikel ini.
- Artikel terkait: ” 14 teka-teki matematika (dan solusinya) “
Fungsi dalam matematika: apa itu?
Sebelum melanjutkan untuk menetapkan jenis utama fungsi matematika yang ada, ada baiknya untuk membuat pengantar singkat untuk memperjelas apa yang kita bicarakan ketika kita berbicara tentang fungsi.
Fungsi matematika didefinisikan sebagai ekspresi matematis dari hubungan antara dua variabel atau besaran . Variabel tersebut dilambangkan dari huruf terakhir alfabet, X dan Y, dan masing-masing diberi nama domain dan kodomain.
Hubungan ini dinyatakan sedemikian rupa sehingga dicari adanya persamaan antara dua komponen yang dianalisis, dan secara umum menyiratkan bahwa untuk setiap nilai X ada hasil tunggal Y dan sebaliknya (walaupun ada adalah klasifikasi fungsi yang tidak memenuhi persyaratan ini).
Demikian pula, fungsi ini memungkinkan pembuatan representasi dalam bentuk grafik yang, pada gilirannya, memungkinkan prediksi perilaku salah satu variabel dari yang lain, serta kemungkinan batas hubungan ini atau perubahan perilaku variabel. variabel tersebut.
Seperti yang terjadi ketika kita mengatakan bahwa sesuatu bergantung pada atau merupakan fungsi dari sesuatu yang lain (misalnya, jika kita menganggap bahwa nilai kita dalam ujian matematika adalah fungsi dari jumlah jam kita belajar), ketika kita berbicara tentang fungsi matematika. kita menunjukkan bahwa memperoleh nilai tertentu tergantung pada nilai lain yang terkait dengannya.
Faktanya, contoh sebelumnya sendiri secara langsung dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi matematika (walaupun di dunia nyata hubungannya jauh lebih kompleks karena sebenarnya bergantung pada banyak faktor dan tidak hanya pada jumlah jam yang dipelajari).
Jenis utama fungsi matematika
Di sini kita menunjukkan beberapa jenis utama fungsi matematika, yang diklasifikasikan ke dalam kelompok yang berbeda sesuai dengan perilakunya dan jenis hubungan yang dibangun antara variabel X dan Y .
1. Fungsi aljabar
Fungsi aljabar dipahami sebagai himpunan jenis fungsi matematika yang dicirikan dengan membangun hubungan yang komponennya berupa monomial atau polinomial, dan yang hubungannya diperoleh melalui kinerja operasi matematika yang relatif sederhana : penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, potensiasi, atau pembentukan (penggunaan akar). Dalam kategori ini kita dapat menemukan banyak tipologi.
1.1. Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit dipahami sebagai semua jenis fungsi matematika yang hubungannya dapat diperoleh secara langsung, cukup dengan mengganti domain x untuk nilai yang sesuai. Dengan kata lain, itu adalah fungsi di mana kita secara langsung menemukan persamaan antara nilai dan hubungan matematis yang dipengaruhi oleh domain x .
1.2. Fungsi implisit
Berbeda dengan yang sebelumnya, dalam fungsi implisit hubungan antara domain dan kodomain tidak dibangun secara langsung, karena itu diperlukan untuk melakukan berbagai transformasi dan operasi matematika untuk menemukan cara hubungan x dan y.
1.3. Fungsi polinomial
Fungsi polinomial, kadang-kadang dipahami sebagai sinonim dari fungsi aljabar dan yang lain sebagai subkelas dari ini, membentuk himpunan jenis fungsi matematika di mana untuk mendapatkan hubungan antara domain dan kodomain perlu melakukan berbagai operasi dengan polinomial dari berbagai derajat .
Fungsi linear atau fungsi tingkat pertama mungkin merupakan jenis fungsi yang paling mudah untuk dipecahkan dan termasuk yang pertama dipelajari. Di dalamnya hanya ada hubungan sederhana di mana nilai x akan menghasilkan nilai y, dan representasi grafisnya adalah garis yang harus memotong sumbu koordinat di beberapa titik. Satu-satunya variasi adalah kemiringan garis tersebut dan titik di mana sumbu berpotongan, selalu mempertahankan jenis hubungan yang sama.
Di dalamnya kita dapat menemukan fungsi identitas, di mana identifikasi antara domain dan kodomain diberikan secara langsung sedemikian rupa sehingga kedua nilai selalu sama (y = x), fungsi linier (di mana kita hanya mengamati variasi kemiringan , y = mx) dan fungsi affine (di mana kita dapat menemukan perubahan pada titik potong sumbu absis dan kemiringan, y = mx + a).
Fungsi kuadrat atau fungsi derajat kedua adalah fungsi yang memperkenalkan polinomial di mana variabel tunggal memiliki perilaku non-linear dari waktu ke waktu (sebaliknya, dalam kaitannya dengan kodomain). Dari suatu limit tertentu, fungsi tersebut cenderung tak hingga pada salah satu sumbunya. Representasi grafis dibuat sebagai parabola, dan secara matematis dinyatakan sebagai y = ax2 + bx + c.
Fungsi konstan adalah fungsi di mana satu bilangan real merupakan determinan dari hubungan antara domain dan kodomain . Artinya, tidak ada variasi nyata berdasarkan nilai keduanya: kodomain akan selalu didasarkan pada konstanta, dan tidak ada variabel domain yang dapat menyebabkan perubahan. Sederhananya, y = k.
- Anda mungkin tertarik: ” Diskalkulia: Kesulitan Belajar Matematika “
1.4. Fungsi rasional
Fungsi rasional disebut himpunan fungsi di mana nilai fungsi ditentukan dari hasil bagi antara polinomial bukan nol. Dalam fungsi-fungsi ini, domain akan mencakup semua angka kecuali yang membatalkan penyebut pembagian, yang tidak memungkinkan perolehan nilai y.
Dalam jenis fungsi ini ada batas yang dikenal sebagai asimtot , yang tepatnya adalah nilai-nilai di mana tidak akan ada nilai domain atau kodomain (yaitu, ketika y dan x sama dengan 0). Dalam batas-batas ini, representasi grafik cenderung tak terhingga, tanpa pernah menyentuh batas tersebut. Contoh dari jenis fungsi ini: y = ax
1.5. Fungsi irasional atau radikal
Fungsi irasional disebut himpunan fungsi di mana fungsi rasional muncul disisipkan di dalam akar atau akar (yang tidak harus kuadrat, karena mungkin kubik atau dengan eksponen lain).
Untuk menyelesaikannya, perlu diperhitungkan bahwa keberadaan akar tersebut memberlakukan batasan tertentu pada kita , seperti fakta bahwa nilai x akan selalu menyebabkan hasil akar menjadi positif dan lebih besar dari atau sama dengan nol. .
1.6. Fungsi yang Ditetapkan Sepotong
Jenis fungsi ini adalah yang nilai dan perubahan perilaku fungsi, ada dua interval dengan perilaku yang sangat berbeda berdasarkan nilai domain. Akan ada nilai yang tidak akan menjadi bagian darinya, yang akan menjadi nilai dari mana perilaku fungsi berbeda.
2. Fungsi transenden
Fungsi transenden disebut representasi matematis dari hubungan antara kuantitas yang tidak dapat diperoleh melalui operasi aljabar, dan untuk itu diperlukan proses perhitungan yang kompleks untuk mendapatkan hubungannya . Ini terutama mencakup fungsi-fungsi yang memerlukan penggunaan turunan, integral, logaritma atau yang memiliki jenis pertumbuhan yang terus meningkat atau menurun.
2.1. Fungsi eksponensial
Sesuai dengan namanya, fungsi eksponensial adalah himpunan fungsi yang membentuk hubungan antara domain dan kodomain di mana hubungan pertumbuhan dibangun pada tingkat eksponensial, yaitu ada pertumbuhan yang semakin dipercepat. nilai x adalah eksponen, yaitu cara di mana nilai fungsi berubah dan bertambah dari waktu ke waktu . Contoh paling sederhana: y = ax
2.2. Fungsi logaritma
Logaritma dari bilangan apa pun adalah eksponen yang diperlukan untuk menaikkan basis yang digunakan untuk mendapatkan bilangan konkret. Jadi, fungsi logaritma adalah fungsi yang menggunakan bilangan yang akan diperoleh dengan basis tertentu sebagai domain. Ini adalah kasus kebalikan dan kebalikan dari fungsi eksponensial .
Nilai x harus selalu lebih besar dari nol dan berbeda dari 1 (karena setiap logaritma dengan basis 1 sama dengan nol). Pertumbuhan fungsi semakin berkurang seiring dengan meningkatnya nilai x. Dalam hal ini y = loga x
23. Fungsi trigonometri
Jenis fungsi di mana hubungan numerik antara unsur berbeda yang membentuk segitiga atau bangun geometris ditetapkan, dan khususnya hubungan yang ada di antara sudut-sudut suatu bangun. Dalam fungsi-fungsi ini kita menemukan perhitungan sinus, cosinus, tangen, secan, kotangen dan cosecan pada nilai x yang diberikan.
Klasifikasi lainnya
Himpunan jenis fungsi matematika yang dijelaskan di atas memperhitungkan bahwa satu nilai kodomain sesuai dengan setiap nilai domain (yaitu, setiap nilai x akan menyebabkan nilai spesifik y). Namun, dan meskipun fakta ini biasanya dianggap mendasar dan mendasar, kenyataannya adalah mungkin untuk menemukan beberapa jenis fungsi matematika di mana mungkin ada beberapa perbedaan dalam hal korespondensi antara x dan y . Secara khusus kita dapat menemukan jenis fungsi berikut.
1. Fungsi injeksi
Fungsi injektif disebut jenis hubungan matematis antara domain dan kodomain di mana masing-masing nilai kodomain dikaitkan hanya dengan satu nilai domain. Artinya, x hanya akan dapat memiliki nilai tunggal untuk nilai y yang diberikan, atau mungkin tidak memiliki nilai (yaitu, nilai spesifik x mungkin tidak memiliki hubungan dengan y).
2. Fungsi surjektif
Fungsi surjektif adalah semua fungsi di mana setiap unsur atau nilai kodomain (y) terkait dengan setidaknya satu domain (x) , meskipun bisa lebih. Itu tidak harus selalu injektif (karena beberapa nilai x dapat dikaitkan dengan y yang sama).
3. Fungsi Bijektif
Disebut demikian jenis fungsi di mana sifat injektif dan surjektif terjadi. Artinya, ada satu nilai x untuk setiap y , dan semua nilai dalam domain sesuai dengan satu di kodomain.
4. Fungsi non-injektif dan non-surjektif
Jenis fungsi ini menunjukkan bahwa ada beberapa nilai domain untuk kodomain tertentu (yaitu, nilai x yang berbeda akan memberi kita y yang sama) pada saat yang sama bahwa nilai y lainnya tidak terkait untuk setiap nilai x.
Referensi bibliografi:
- Hawa, H. (1990). Landasan dan Konsep Dasar Matematika (edisi ke-3). Dover.
- Hazewinkel, M.ed. (2000). Ensiklopedia Matematika. Penerbit Akademik Kluwer.