Dunia matematika, sama menariknya juga rumit , tetapi mungkin berkat kerumitannya kita dapat mengatasi kehidupan sehari-hari dengan lebih efektif dan efisien.
Teknik berhitung adalah metode matematika yang memungkinkan kita untuk mengetahui berapa banyak kombinasi atau opsi yang berbeda dari unsur-unsur dalam kelompok objek yang sama.
- Artikel yang direkomendasikan: “Psikometrik: apa itu dan untuk apa tanggung jawabnya?”
Teknik-teknik ini memungkinkan untuk mempercepat dengan cara yang sangat signifikan mengetahui berapa banyak cara yang berbeda untuk membuat urutan atau kombinasi objek, tanpa kehilangan kesabaran atau kewarasan. Mari kita lihat lebih dekat apa itu dan mana yang paling sering digunakan.
Teknik menghitung: apa itu?
Teknik berhitung adalah strategi matematika yang digunakan dalam probabilitas dan statistik yang memungkinkan kita untuk menentukan jumlah total hasil yang mungkin ada dari membuat kombinasi dalam satu set atau set objek. Jenis teknik ini digunakan ketika praktis tidak mungkin atau terlalu berat untuk melakukan kombinasi manual dari unsur yang berbeda dan untuk mengetahui berapa banyak dari mereka yang mungkin.
Konsep ini akan lebih mudah dipahami melalui sebuah contoh . Jika Anda memiliki empat kursi, satu kuning, satu merah, satu biru, dan satu hijau, berapa banyak kombinasi dari tiga kursi yang dapat disusun berdampingan?
Masalah ini dapat diselesaikan dengan melakukannya secara manual, memikirkan kombinasi seperti biru, merah dan kuning; biru, kuning dan merah; merah, biru dan kuning, merah, kuning dan biru … Tapi ini mungkin membutuhkan banyak kesabaran dan waktu, dan untuk itu kita akan menggunakan teknik penghitungan, untuk kasus ini permutasi diperlukan.
- Anda mungkin tertarik membaca: “Distribusi normal: apa itu, karakteristik, dan contoh dalam statistik”
Lima jenis teknik penghitungan
Teknik penghitungan utama adalah lima berikut , meskipun bukan satu-satunya, masing-masing dengan kekhasan sendiri dan digunakan sesuai dengan persyaratan untuk mengetahui berapa banyak kombinasi set objek yang mungkin.
Sebenarnya, jenis teknik ini dapat dibagi menjadi dua kelompok, tergantung pada kompleksitasnya, yang satu terdiri dari prinsip perkalian dan prinsip aditif, dan yang lainnya terdiri dari kombinasi dan permutasi.
1. Prinsip perkalian
Jenis teknik penghitungan ini, bersama dengan prinsip aditif, memungkinkan pemahaman yang mudah dan praktis tentang cara kerja metode matematika ini.
Jika suatu peristiwa, sebut saja N1, dapat terjadi dalam beberapa cara, dan peristiwa lain, N2, dapat terjadi dalam banyak cara, maka peristiwa bersama dapat terjadi dengan cara N1 x N2.
Prinsip ini digunakan ketika aksinya berurutan, yaitu terdiri dari peristiwa-peristiwa yang terjadi secara teratur, seperti pembangunan rumah, pemilihan langkah-langkah tarian di disko atau urutan yang akan diikuti untuk mempersiapkan. kue. .
Sebagai contoh:
Di sebuah restoran, menu terdiri dari hidangan utama, hidangan kedua, dan hidangan penutup. Kita memiliki 4 hidangan utama, 5 detik, dan 3 makanan penutup.
Jadi, N1 = 4; N2 = 5 dan N3 = 3.
Jadi, kombinasi yang ditawarkan oleh menu ini adalah 4 x 5 x 3 = 60
2. Prinsip aditif
Dalam hal ini, alih-alih mengalikan alternatif untuk setiap peristiwa, yang terjadi adalah berbagai cara di mana mereka dapat terjadi ditambahkan.
Ini berarti bahwa jika aktivitas pertama dapat terjadi dengan cara M, yang kedua dalam N dan ketiga L, maka menurut prinsip ini, itu akan menjadi M + N + L.
Sebagai contoh:
Kita ingin membeli cokelat, ada tiga merek di supermarket: A, B dan C.
Cokelat A dijual dalam tiga rasa: hitam, susu, dan putih, selain memiliki pilihan tanpa atau dengan gula untuk masing-masing rasa.
Cokelat B dijual dalam tiga rasa, hitam, susu atau putih, dengan pilihan ada hazelnut atau tidak, dan dengan atau tanpa gula.
Cokelat C dijual dalam tiga rasa, hitam, susu dan putih, dengan pilihan hazelnut, kacang tanah, karamel atau almond, tetapi semuanya dengan gula.
Berdasarkan hal ini, pertanyaan yang harus dijawab adalah: berapa banyak jenis cokelat yang dapat Anda beli?
W = banyaknya cara memilih coklat A.
Y = banyaknya cara memilih coklat B.
Z = banyaknya cara memilih coklat C.
Langkah selanjutnya adalah perkalian sederhana.
P = 3 x 2 = 6.
Y = 3 x 2 x 2 = 12.
Z = 3 x 5 = 15.
W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 jenis cokelat yang berbeda.
Untuk mengetahui apakah harus menggunakan prinsip perkalian atau aditif, petunjuk utamanya adalah apakah aktivitas yang bersangkutan memiliki serangkaian langkah yang harus dilakukan, seperti yang terjadi pada menu, atau ada beberapa opsi, seperti halnya dengan cokelat.
3. Permutasi
Sebelum memahami bagaimana melakukan permutasi, penting untuk memahami perbedaan antara kombinasi dan permutasi.
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidak penting atau tidak mengubah hasil akhir.
Sebaliknya, dalam suatu permutasi, akan terdapat susunan beberapa unsur yang penting untuk diperhatikan urutan atau posisinya.
Dalam permutasi, ada n jumlah unsur yang berbeda dan sejumlah dari mereka dipilih, yang akan menjadi r.
Rumus yang akan digunakan adalah sebagai berikut: nPr = n! / (Nr)!
Sebagai contoh:
Ada kelompok yang terdiri dari 10 orang dan ada kursi yang hanya dapat memuat lima orang, berapa cara mereka dapat duduk?
Berikut ini akan dilakukan:
10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 cara berbeda untuk menempati bank.
4. Permutasi dengan pengulangan
Ketika Anda ingin mengetahui jumlah permutasi dalam satu set objek, beberapa di antaranya adalah sama, Anda lakukan sebagai berikut:
Mempertimbangkan bahwa n adalah unsur yang tersedia, beberapa di antaranya berulang.
Semua item n dipilih.
Rumus berikut berlaku: = n! / N1! N2! … nk!
Sebagai contoh:
Di atas kapal, 3 bendera merah, 2 kuning dan 5 hijau dapat dikibarkan. Berapa banyak sinyal berbeda yang dapat dibuat dengan mengibarkan 10 bendera yang Anda miliki?
10! / 3! 2! 5! = 2.520 kombinasi bendera yang berbeda.
5. Kombinasi
Dalam kombinasi, tidak seperti apa yang terjadi dengan permutasi, urutan unsur tidak penting.
Rumus yang akan diterapkan adalah sebagai berikut: nCr = n! / (Nr)!R!
Sebagai contoh:
Sekelompok 10 orang ingin membersihkan lingkungan dan bersiap untuk membentuk kelompok yang masing-masing beranggotakan 2 orang.Berapa banyak kelompok yang mungkin?
Dalam hal ini, n = 10 dan r = 2, dengan demikian, menerapkan rumus:
10C2 = 10! / (10-2)!2! = 180 pasangan berbeda.
Referensi bibliografi:
- Brualdi, RA (2010), Introductory Combinatorics (edisi ke-5), Pearson Prentice Hall.
- de Finetti, B. (1970). “Dasar logis dan pengukuran probabilitas subjektif”. Acta Psikologi.
- Hogg, RV; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Pengantar Statistik Matematika (edisi ke-6). Sungai Pelana Atas: Pearson.
- Mazur, DR (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
- Ryser, HJ (1963), Matematika Kombinatorial, Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.